【科普+毁三观?】数字/图形规律题其实有任意解

前言:

其实本文的想法早就有了,只是一直没有发出来。不知道有没有雷同文,不足之处也请大家指出

数字规律题、图形规律题,被认为能够测试智商,也经常用来作为笔试、面试的题目。
但是,其实这些规律题,在数学上都是站不住脚的,因为可以用数学证明:数字/图形规律题其实有任意解。

先说数字规律:

比如这题 1,4,9,16,(?)

一般大部分人的会认为,?处应该填25。

因为这题都是平方数,即f(n)=n^2。有f(1)=1^2=1,f(2)=2^2=4……f(5)=5^2=25。

然而,实际上,?可以填任意值,比如填10,因为有f(n)=-15+31.25*n-20.875*n^2+6.25*n^3-0.625*n^4,可以使f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16,f(5)=10。

      同样的,?可以填16,因为有
f(n)=-9+18.75*n-12.125*n^2+3.75*n^3-0.375*n^4,
可以使f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16,f(5)=16。
     写到这里,大家估计都能看出来为什么任意值都可以了:我们只要构造一个函数f(n)=C0+C1*n+C2*n^2+C3*n^3+C4*n^4,使得f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16,f(5)=X(X可以为任意值)就可以了。
所以我们只要解出这个五元一次方程组即可构造出符合条件的“规律”。
当你随便取一个X值之后,5个方程解出C0~C4这5个未知数就可以了。
当然,从数学严谨的角度说, X取某一个值的时候,这个五元一次方程组可能会无解。但是没关系,碰到这个X值的时候,我们可以改变一下f(n)的构成,比如添加一项C5*n^5,或者C5/n,或者C5*2^n等等,总能让这个方程组有解,而且还可以是无数组解。
另外,通过这种解方程的方式得出的“规律”,可能会导致后续数列出现小数或负数,比如上面?填10的那个方程,f(6)=-39。虽然好像没有哪个数字规律题规定不准出现小数和负数,但是为了完美,我们可以再对方程做改造:给整体加一个绝对值,保证其不出现负数;给整体加一个高斯函数(取整函数),保证其不出现小数。比如上面第一个构造的函数,改造为:f(n)=[|-15+31.25*n-20.875*n^2+6.25*n^3-0.625*n^4|]。
所以,当你碰到这些数字规律题的话,你可以理直气壮的说,任意值!
接着是图形规律:

有了数字规律的基础,再看图形规律其实不难,只是可能有点抽象。

首先将图形转化为代数,即构造函数f(x,y,n)。这个函数有3个变量,x是横坐标,y是纵坐标,n表示第n张图形。而函数值代表颜色。

为了简化,我们假定图形只有黑白两种颜色,当f(x,y,n)=0时,表示在第n张图形中,(x,y)坐标的这个点是白色。同理,f(x,y,n)=1表示在第n张图形中,(x,y)坐标的这个点是黑色。

那么,对于平面上的任意一点(x0,y0),可以写出其颜色关于n的一个数列。比如f(x0,y0,1)=1,f(x0,y0,2)=1,f(x0,y0,3)=0,分别表示,(x0,y0) 这点在第1个图形中是黑色的,在第2个图形中是黑色的,在第3个图形中是白色的。那么,按照规律,第4张图在(x0,y0) 这点是黑色还是白色的呢?由我们在数字规律中得出的结论,第4张图在(x0,y0) 这点既可以是白色,也可以是黑色!

      不过,你可能会担心,用构造函数的方法,虽然能使f(x0,y0,4)=0或者1都说得通,但是极有可能让f(x0,y0,5)既不等于1,也不等于0。但是没关系,最简单的做法是,我们把大于0的值都定义为黑色,小于等于0的值,都定义为白色。或者干脆把非0非1的值全部定义为透明。再或者麻烦点,可以在函数构造出来之后,给整体加一个sign函数(取符号函数),再加一个绝对值,保证函数的值只可能为0或1。总之解决办法有很多╮(╯▽╰)╭
另外,如果图形是彩色的怎么办?也没关系,我们可以让f(x,y,n)=2代表红色、f(x,y,n)=3代表蓝色……甚至用RGB等方法表示颜色。
      总结一下:对于平面上的任意一点(x0,y0)在n(图形编号)变化时,其颜色变化的任意一个“规律”,都可以构造出一个f(n)来解释。
      因此, 当你碰到这些图形规律题的话,你可以理直气壮的说,任意图形!
后记:

其实,撇开上面的构造方法,从数学上来说,完全可以构造一个分段函数f(n):

f(n)=1,     n<=1
f(n)=4,     1<n<=2
f(n)=9,     2<n<=3
f(n)=16,   3<n<=4
f(n)=10,   n>4

同理,图形也可以构造分段函数f(n):

f(n)=图形1,     n<=1
f(n)=图形2,     1<n<=2
f(n)=图形3,     2<n<=3
f(n)=图形4,     3<n<=4
f(n)=全黑图形,     n>4

不过,这样的“构造”太丧心病狂了!所以我还是多写点文字,用看起来更加科学一点的构造方法来解释。

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